量子コンピュータ、数学オリンピックのための AI... これらは 2020 年のコンピュータと数学における大きな進歩です

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数学とコンピュータの関係は、常に「あなたが私の中にいて、私があなたの中にいる」という関係でした。

コンピュータ プログラムは数学と切り離せないものであり、数学的な計算にも利便性をもたらします。

海外の有名な科学ウェブサイト「Quanta Magazine」は、2020年にコンピューターサイエンスと数学の2つの分野におけるいくつかの大きな進歩をまとめました。

その中には、50年以上数学者を悩ませてきたパズルの解答や、AIと数学の組み合わせなどもあります。

もちろん、疫病による隔離期間中にテレンス・タオが挑戦できなかった100年前の数学の問題を解いた2人の数学者もリストに載っている。

見てみましょう。

TOP1：「量子もつれ」における大きな進歩

今年、コンピュータ分野における最も重要なブレークスルーは、MIP*=RE の証明です。

その証明は、計算に 0 と 1 を使用する従来のコンピュータではなく、量子論理を使用して計算する量子コンピュータが、多数の問題に対する答えを理論的に検証できることを意味します。

シドニー工科大学、カリフォルニア工科大学、テキサス大学オースティン校、トロント大学のコンピューター科学者5人が共同で研究結果を「MIP * = RE」という論文で発表した。

この論文では、古典的検証と複数の量子論的検証の相互作用によって決定される言語のクラスMIPが、再帰的に可算な言語のクラスREと同等であることを証明しています。

言い換えれば、MIP*=RE の複数当事者によるインタラクティブな証明と量子もつれの計算能力を組み合わせることで、チューリング停止問題に対するアイデアが生まれます。

この論文の結論に関して言えば、物理学者はそこにツィレルソンの物理学の問題に対する答えを見出し、数学者はそこにコンヌの埋め込み予想に対する答えを得た。

著者の一人であるヘンリー・ユエン氏は、「盲人が象に触れるのと同じように、さまざまな科学分野の人々がさまざまな部分を見てきました。彼らは皆正しいのですが、象が本当はどのような姿をしているのかは解明できていません」と述べている。

1980 年代に、コンピューター科学者は対話型証明と確率的検証可能証明 (PCP) の理論を発明しました。MIP* = RE は古典的な PCP 定理であり、量子もつれを利用して無限に再帰的に拡張できます。

この論文では、絡み合って相互検証する 2 台のマシンを使用してチューリング停止問題を解決できると結論付けています。同時に、コンヌの埋め込み予想が間違っていることが証明されました。

彼らはまた、古典的な2ゲーム相互検証ゲームであるベル/CHSHを引用しました。このゲームでは、2者間の無限のエンタングルメント検証により、ゲームの勝率が向上します。したがって、最終的な問題は、エンタングルメント検証プロセスをどのように停止するかということです。

なお、この論文の筆頭著者は、シドニー工科大学量子ソフトウェア情報センターの Zhengfeng Ji 教授です。

Ji Zhengfeng は、2007 年に清華大学でコンピューター サイエンスとテクノロジーの博士号を取得しました。

論文の宛先:
出典: arxiv.org

TOP2: コンウェイツイストの解決

今年6月、英国の有名な数学者ジョン・コンウェイ氏がCOVID-19で亡くなり、「コンウェイの結び目」と呼ばれる難問が残され、数学界を50年にわたって悩ませてきた。

彼の死から1か月後、テキサス大学オースティン校の博士課程の学生リサ・ピッキリロさんは、その謎を解くのに1週間を費やした。

長年にわたり、数学者は位相的には切断可能だが滑らかには切断できないさまざまな結び目を発見してきました。ただし、これらのキンクのクロスオーバー数は 12 を超えます。

交差点が 12 個未満の結び目の中で、コンウェイ結び目のスライス状態だけがまだ発見されていません。

コンウェイノットが滑らかで切断可能であることがなぜそれほど重要なのでしょうか?

滑らかで切断可能な結び目は、数学者に 4 次元空間の奇妙な特性を探索する方法を提供するからです。

したがって、コンウェイ結び目が滑らかで切断可能であるかどうかは、結び目理論における大きな進歩の厳格な基準となっています。

リサは、コンウェイツイストと同じトレースを持つ結び目を作成できれば、せん断不変性をよりうまく活用できるのではないかと考えました。

そこで彼女は、コンウェイ結び目と同じ軌跡を持つ複雑な結び目を作ることに成功した。 Lisa は、Rasmussen の s 不変量と呼ばれるツールを使用します。

結果、彼女が作った結び目は滑らかに切れないことがわかり、コンウェイ結び目も滑らかに切れないのではないかと推測されました。

「これは非常に美しい証明だ」と数学者たちは叫んだ。

続きを読む：
https://mp.weixin.qq.com/s/4wGmSxKGFVEqW_wdWWVtog

TOP3: IMOに参加するAI

数学は数千年にわたる発展の歴史を持っていますが、人間の記憶力には限界があります。一流の数学者でさえ、すべての数式や定理を記憶することはできません。

その結果、多くの数学者が「数学のデジタル化」に目を向け、数千年にわたって蓄積された数学の成果のデジタルライブラリを構築しました。

数学者は、Lean と呼ばれる Microsoft ソフトウェア プログラムを使用して、数学専攻の 2 年生が学ぶべきすべての知識を含む Mathlib と呼ばれる数学基礎データベースを構築しました。

彼らは数学の知識をコンピューター言語にコンパイルし、数式と定理の膨大なライブラリに基づいて難しい数学の問題を解決します。

Lean の問題解決方法は、チェスや囲碁 AI のアルゴリズムと同じで、アルゴリズムが最適な解決策を見つけるまで決定木に従います。

現在、リーンは次回のIMO（国際数学オリンピック）への参加を計画しているが、大会の結果はまだ不明であり、その結果について悲観的な見方をする人も多い。

しかし、複雑な数学の問題を AI が解決する特に成功した事例がいくつかあります。

スタンフォード大学、カーネギーメロン大学、ロチェスター工科大学のコンピューター研究者数名は、AIを活用し、わずか40台のコンピューターを使って30分で、数学者を90年間悩ませてきたケラー予想を解きました。

続きを読む：
https://mp.weixin.qq.com/s/bDD6-KAwLWPFAdV8khfIRw

では、今年、数学とコンピューティングの分野ではどのような新たな進歩があったのでしょうか?

幾何学の進歩

内接正方形問題

流行の間、家に閉じ込められていた2人の科学者、アンドリュー・ロブとジョシュア・グリーンは退屈を感じていました。

そこで彼らは指を動かし、1世紀にわたって人々を悩ませてきた数学の問題を解きました。テレンス・タオでさえ、この難しい数学の問題に挑戦できませんでした。

質問は、任意の単純な閉ループについて、任意のアスペクト比の長方形を形成する 4 つの点を常に見つけることができるかどうかです。

この問題は、内接正方形問題としても知られ、1911 年に発生しました。ドイツの数学者オットー・テプリッツは、どんな単純な閉曲線にも、結んで正方形を形成できる 4 つの点が含まれていると予測しました。

この文章は単純に聞こえますが、古代から現代に至るまで、多くの数学者がこれを証明しようと知恵を絞ってきましたが、証明することはできませんでした。

1977 年、数学者ハーバート・ヴォーンは、メビウスの帯を使用して内接長方形問題を解決するという画期的な成果を上げました。

彼は、3 次元空間の任意の閉じたループには、長方形を形成できる点が少なくとも 4 つあることを証明しました。

天才数学者テレンス・タオは、積分法を使って特定の状況下で内接正方形問題を解きました。

彼は積分法を用いて、曲線が定数が 1 未満の 2 つのリプシッツ図形で構成される特殊なケースでは、曲線上に正方形を形成できる 4 つの点が存在する必要があることを証明しました。

しかし、どちらも、任意の長さと幅の比率を持つ長方形（正方形を含む）が存在できるかどうかを証明していません。

アンドリュー・ロブとジョシュア・グリーンは、そのアプローチで、メビウスの帯を 4 次元シンプレクティック空間に埋め込み、メビウスの帯が交差することなく4 次元シンプレクティック空間に埋め込むことができることを証明しました。

つまり、すべての閉じた滑らかな曲線には、接続してあらゆるアスペクト比の長方形を形成できる 4 つの点のセットが含まれている必要があります。

さらに読む:
https://mp.weixin.qq.com/s/E-I_3C-3m0KTI1XjYaKWcA

正十二面体の新たな発見

数学者は、プラトン立体としても知られる特殊な形状である四面体、六面体、八面体、十二面体、二十面体を研究するのに 2,000 年以上を費やしてきました。長年にわたり、数学者たちはそれらについてほとんど知りませんでした。

私はずっとプラトン立体について考えていました。プラトン立体の角から出発すると、他の角を通らずに元の角に戻ることができる直線経路はあるでしょうか？

正三角形や正方形で構成される四面体、立方体、八面体、二十面体に関しては、科学者はそれらは存在しないという明確な結論に達しています。他のコーナーも通過しなければなりません。そうしないと、スタート地点に戻ることができなくなります。

しかし、正十二面体は五角形で構成されています。これもこの定理に適合するのでしょうか?

ジャヤデフ・アトレヤ、デイビッド・アウリシノ、パトリック・フーパーは、十二面体に関する研究をExperimental Mathematics誌に発表した。

正十二面体は五角形で構成されており、五角形と正十二面体は幾何学的に関連しているため、前者の高い対称性を利用して後者の構造を説明できると彼らは考えています。

こうして研究者たちは、正十二面体が出発点に戻る際に辿ることができる直線経路をすべて特定し、正十二面体の隠れた対称性に従ってこれらの経路を分類することができた。

正十二面体にはこのような直線の経路が無数に存在し、これらの経路は 31 の自然なファミリーに分類できます。

論文の宛先:
https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/10586458.2020.1712564

数学的思考の昇華

ラングランズ数学ブリッジのアップグレード

17世紀、フランスの数学者が「フェルマーの最終定理」を提唱しました。任意の整数 n>2 に対して、x、y、z に関連する方程式 x2+y2=z2 には正の整数解が存在しないことを主張します。

1995年、300年以上経った後、イギリスの数学者アンドリュー・ワイルズによって証明されました。

ウェルズは数学的橋の概念も提案した。つまり、この方程式は 2 つの数学の分野をつなぐ橋であり、この橋をつなげることで不定詞が解かれるのです。

しかし、これはラングランズプロジェクトのほんの一部にすぎません。ラングランズ・プロジェクトは、カナダの数学者ロバート・ラングランズによって提唱されました。数論と幾何学を結びつけるネットワーク予想を研究することを目的としており、現代の数学研究における最大のプロジェクトとされています。

△カナダの数学者ロバート・ラングランズ

数学者はこのアプローチを有理数係数と楕円曲線の関係にまで拡張しました。最近では、単純な無理数係数も取り上げられるようになりました。しかし、虚数、つまり 4 や 5 のようなより高い指数の場合、彼らのアプローチは機能しません。

そこで、上記の障害を克服するために、シカゴ大学のフランク・カレガリ氏とフェイスブックの科学者デビッド・ジェラティ氏は、より一般的な不定詞ブリッジの構築方法に関する論文をオンラインで公開し、3つの仮説を提唱した。

数学者たちは3つの予想を確認するために急いで秘密セミナーを開催し、10人が署名した論文にまとめた。

この論文の研究成果は数学の分野におけるラングランズプロジェクトに大きな進歩をもたらしたが、指数が6より大きい不定詞や変数が2つを超える不定詞については未だに解決法がない。

したがって、ラングランズプロジェクトにはまだ拡張の余地があります。

数学論文のアドレス:
https://arxiv.org/abs/1812.09999

多項式とべき級数

物理学における反発力は数学にも存在します。

トロント大学のベセリン・ディミトロフ氏はその存在を証明し、実験結果を得た。

一般に、多項式には次数と同じ数の根があります。したがって、X2 - 4 には 2 つの根があり、X5 - 7、X3 + 2、X2 - 4、X - 9 には 5 つの根があります。

数学者は多項式の根の間の関係に興味を持っています。

ここで円分多項式を紹介します。いわゆる円分多項式は既約多項式です。数学者は、その根が特定の幾何学的方法に従い、円内に分布していることを発見したため、「単位根」と名付けられました。

しかし、実際には、ほとんどは非円分多項式です。

数学者は、すべての非円分多項式は円の外側に根を持つはずだと予測しています。

彼らは、これは物理学における電子のように「反発」によるもので、その最小の根は円の内側に入り、磁石のような反発力を持って円の外側にある他の根を反発するのだと推測した。

しかし長い間、数学者はこの理論を証明することができませんでした。

ディミトロフは、多項式の根の大きさの問題をべき級数に変換することによってこれを実現しました。多項式と同様に、べき級数には無限の解があります。

彼は、円分でない多項式から始めて、その根を求め、これらの根をさまざまな累乗に上げ、それらを掛け合わせ、その積の平方根をとりました。最後に、この平方根に基づいて、多項式の基本的な特性を持つべき級数が構築されます。

ディミトロフは、べき級数の係数は整数でなければならないこと、またそのハンケル行列式も大きい場合は、非円分多項式の初期根も大きくなければならないことを証明しました。このようにして、多項式の根とべき級数の関係が証明されます。

他の数学者たちは「彼の方法は非常に洗練されており、反発についての予想を間接的に証明している」とコメントした。

参考リンク:
https://www.quantamagazine.org/new-math-measures-the-repulsive-force-within-polynomials-20200514/

ダフィン・シェーファー予想が証明された

オックスフォード大学の若き数学者ジェームズ・メイナードは、 80年間誰もが悩まされてきた難問であるダフィン・シェーファー予想を解決した。

ダフィン＝シェーファー予想は、物理学者リチャード・ダフィンと数学者アルバート・シェーファーによって 1941 年に提唱された計量ディオファントス近似における重要な予想です。

ご存知のとおり、実数のほとんどはπや√2などの無理数であり、分数では表すことができません。

この予想は、f:N→R≥0 が正の値を持つ実数値関数であると仮定し、次の級数が成り立つ場合にのみ成立します。

は発散します（q>0、φ(q)はオイラー関数で、qより小さくqと互いに素な正の整数の数を表します）。無理数αに対して、不等式|α-(p/q)|<f(q)/qを満たす有理数は無限にあります。

この証明は、モントリオール大学のジェームズ・メイナードとディミトリス・コウクロポロスが解明するまで、数学者を長年悩ませてきた。

彼らの証明では、分母を使用してグラフを作成します。つまり、分母をグラフ上の点としてプロットし、2 つの点に共通の素因数が多数ある場合は、それらの点を線で結びます。

このように、グラフの構造は、各分母によって近似された無理数間の重なりをエンコードします。もともと、この重複の度合いを直接測定することは困難でした。

このようにして、彼らはダフィン・シェーファー予想の正しさを証明した。

続きを読む：
https://mp.weixin.qq.com/s/vsjFvYZBfYdGf7NM4TgRqg

上記は、Quanta Magazine が選んだ、今年のコンピューター サイエンスと数学の分野における最も重要な研究の進歩の一部です。

これらの研究のうち、どちらの方が学術的価値があると思いますか?

言い換えれば、リストに載っていないけれども、今年も大きな研究上のブレークスルーとなるような他の大きな研究上のブレークスルーはあるのでしょうか?