ディープニューラルネットワークを使用して三体問題を1億倍速く解く

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「答えるな！答えるな！答えるな！」

劉慈欣がSF小説に『三体』というタイトルをつけたとき、彼はすでに『三体』自体が答えられない問題であることを知っていた。

「三体問題」は何百年もの間、人類を悩ませてきました。ニュートン、オイラー、ラグランジュ、ポアンカレなど、かつて人類を震撼させた数え切れないほどの偉人たちが、この問題に多大な努力を注ぎました。今日でも、多くの人がこの問題を研究しています。

しかし、疑問がある場合は、ニューラル ネットワークを使用するのが常に良い考えです。

最近、エディンバラ大学とケンブリッジ大学の数学者がニューラルネットワークを使用して三体問題を解きました。これは従来の解法よりも1億倍高速で、誤差はわずか10万分の1でした。

「私にとってはとても難しい」

では、三体問題とはいったい何なのでしょうか。そして、なぜこれほど多くの物理学者や数学者を困惑させるのでしょうか。

N 体問題とは、N 個の粒子の初期位置と速度がわかっている場合に、ニュートンの運動の 3 つの法則と万有引力の法則に基づいて、N 個の粒子のその後の運動の問題を解くことを指します。

まず第一に、二体問題は非常に簡単に解けます。人類は昔から、太陽の周りを回る地球の軌道の法則を熟知しています。その答えは、ケプラーの惑星運動の 3 つの法則です。

ニュートンが万有引力の法則を提唱した後、当初人々は三体問題は二体問題よりも物体が一つ多いだけの問題で、それほど難しくなく、方程式を一つ追加するだけの問題だと考えていました。

しかし、物事はそれほど単純ではありません。オブジェクトの数が 3 つに増えると、一般的に、動作の軌跡は楕円のように美しく単純ではなくなり、乱雑な曲線になります。

三体問題には 3 つの方程式しか関係しませんが、いくつかの特殊なケースを除いて、解析的な解を見つけることは一般に不可能であることが数学的に証明されています。近似解を得るには、数値シミュレーション法を使用するしかありません。

オイラーやラグランジュなどの偉大な数学者の努力のおかげで、数学者は、質量が同じ 3 つの物体が 8 の字を描くように動くなどの特殊な三体問題に対する正確な解を発見しました。

しかし、ほとんどの三体問題はまだ正確に解くことができず、カオスにおけるバタフライ効果のように、初期条件のわずかな違いでも非常に異なる結果につながる可能性があります。

これを実現するには、三体問題を解くための膨大な計算能力を備えたコンピュータが必要です。システムの混沌とし​​た性質のため、与えられた初期化問題の解決策は、時間と労力を要する反復計算を通じてのみ見つけることができます。

2015 年に、任意の N 体問題に対する近似収束解を任意の精度で計算できる Brutus 積分器が開発されました。

しかし、反復計算の精度が向上し続け、シミュレーション時間が長くなると、メモリに保持する必要があるデジタル精度が指数関数的に増加し、計算のステップ サイズをさらに縮小する必要があります。

ニューラルネットワークは盲目的推測ではない

従来の数値手法を使用して問題を解決するのは非常に難しいため、ニューラル ネットワークを試してみるのもよいでしょう。

しかし、ニューラルネットワークは最近、多くの分野で利用されています。余震の予測に使う人もいれば、心臓病の診断に使う人もいます。結局、どれも信頼できないことがわかりました。

もちろん、物理学者や数学者がディープ ニューラル ネットワークを使用する前に、それを強制的に使用させることはできません。まず、これが形而上学ではないことを証明する必要があります。

1991 年には、ニューラル ネットワークの活性化関数が連続的、有界、非定数である場合、コンパクトな入力セット上で連続マッピングを実現できることが理論的に証明されていました。

簡単に言えば、十分に滑らかな活性化関数を持つネットワークは、関数とその導関数を任意の精度で近似できます。言い換えれば、ニューラル ネットワークは、3 次元の問題における物体の運動方程式の近似解を見つけるために使用できます。

著者らは、128 個のノードと 10 個の隠れ層で構成されるフィードフォワード ニューラル ネットワークを使用しました。データは ADAM 最適化アルゴリズムを使用してトレーニングされ、各エポックは 5000 バッチに分割され、アクティベーション関数は ReLU に設定されます。

トレーニング セットと検証セットは、それぞれ 9900 個と 100 個のシミュレーション データで構成されます。各シミュレーションでは、Brutus 積分を使用して運動方程式を解き、ニューラル ネットワークの結果と比較しました。

上記のニューラルネットワークは、時間 t と粒子の位置座標を入力すると、その瞬間の他の粒子の座標を返し、三体問題の近似解を実現します。

このプロセスでは、ニューラル ネットワークは Brutus インテグレータよりも平均で 10 万倍高速になり、最大で 1 億倍高速になることもあります。

しかし、この方法は2次元平面内の三体問題のみを解くものであり、粒子の初期速度が0に制限されているため、一部のネットユーザーから疑問視されています。

さらに、ニューラル ネットワークは、問題を解決する際にエネルギー保存の法則に従わないようでした。最終的に、著者は「エネルギー投影レイヤー」を導入して、誤差が 10 ^-5の結果を達成しました。

しかし、この方法は、宇宙船の軌道を迅速かつ安価に計算するためのソリューションを提供します。

論文の宛先:

https://arxiv.org/abs/1910.07291