インドの天才数学者ラマヌジャンが残した3000以上の魔法の公式をAIに「証明」させる！

最近、ネイチャー誌に、新しい数式を生成できる AI アルゴリズム プロジェクトを研究者が構築したプロジェクトが掲載されましたが、その数式の中には正しいことを証明するのが難しいものもあります。このプロジェクトは、伝説的なインドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンにちなんで名付けられました。

2016年4月、著名な投資家ユーリ・ミルナー氏が自宅で小規模なディナーを開催した。ゲストにはグーグルのピチャイCEO、創業者のブリン氏、フェイスブックのザッカーバーグCEO、その他シリコンバレーのリーダー数十名が参加した。

ミルナー氏はその夜、伝説の数学者ラマヌジャンの生涯を描いた伝記映画「無限を知っていた男」を上映した。

晩餐会の後、ザッカーバーグ氏らは目を真っ赤にして退場したと報じられている。彼らはすぐにラマヌジャンを記念する新しい基金を共同で設立すると発表した。

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ラマヌジャンは 20 世紀で最も伝説的な数学者の 1 人です。彼は約 3,900 の数式と命題を独自に発見しました。正式な高等数学教育はほとんど受けていませんでしたが、直感によって並外れた定理と数式を書き上げ、それが正しいことが証明されることも多々ありました。同時に、彼は自身のメモを数多く世に残し、それがその後の多くの研究のきっかけとなった。

彼が発見した魔法の公式のいくつかは次のとおりです。

ラマヌジャンの円周率の公式:

ラマヌジャン定数（ほぼ整数）:

ラマヌジャンのルート形式:

ラマヌジャンの余弦の3乗根の公式:

研究者の興味をそそったのは、これらの素晴らしい数式です。

ラマヌジャン マシンは、π や e などの重要な数学定数の桁を計算するための新しい方法を生み出すために設計されました。これらの定数の多くは無理数であり、つまり、循環しない小数が無限にあります。

e や π などの基本定数は、物理学、生物学、化学、幾何学、抽象数学など、科学のさまざまな分野で広く使用されています。しかし、何世紀にもわたって、基本定数に関連する新しい数式はほとんど発見されておらず、通常は数学的な直感や創造性によって散発的に発見されてきました。

ラマヌジャン マシンは、π の最初の数千桁など、よく知られた公式から数値を計算することができました。このデータから、アルゴリズムは同じ計算を実行して同じ結果を得ることができる新しい式を予測しようとします。

このプロセスにより適切な推測 (推測) が生成され、その後、この式で数値全体を正しく計算できるかどうかを証明するのは人間の数学者の責任となります。

チームは2019年にプロジェクトのウェブサイトでこれらの推測を​​公表し始め、研究者たちはその一部が正しいことを証明した。

しかし、解決すべき問題がいくつか残っており、そのうちの 1 つは物理学で重要な応用がある「アペリー定数」の問題です。 「最後の結果は最も興味深いものですが、誰もそれをどのように証明するかを知りません」と物理学者のイド・カミナー氏は語った。「しかし、アルゴリズムによって自動的に作成された推測は、人々が存在を知らなかった数学の分野間のつながりを数学者が発見することにつながる可能性があります。」

連分数

ラマヌジャン マシンの用途は現在非常に限られています。これまでのところ、アルゴリズムは連分数と呼ばれる特定の種類の式しか生成できません。これらの分数は、互いの分母内にネストされた分数の無限シーケンスとして数値を表します。

研究チームは、連分数を求めるためのさまざまなアルゴリズムを試し、それをさまざまな概念的に重要な数値に適用しました。その一つがカタラン定数で、19世紀のベルギーの数学者ウジェーヌ・カタランの研究から生まれた数値です。

カタラン定数はおよそ 0.916 ですが、非常に神秘的なため、それが有理数であるかどうか、つまり 2 つの整数の分数として表せるかどうかは誰にもわかりません。

数学者にできた最善のことは、その「無理数指数」（有理数を使用して数を近似することがどれだけ難しいかを示す指標）が少なくとも 0.554 であることを示すことだった。カタラン定数が無理数であることを証明することは、その無理数指数が 1 より大きいことを証明することと同じです。そして、ラマヌジャンマシンによって生成された式により、カミナ氏のチームは人間の最高結果をわずかに上回り、指数を0.567にまで引き上げることができました。

複雑さの増大

推測を自動的に生成することだけが、コンピューターが数学の進歩に貢献している分野ではありません。

コンピュータ支援計算は、いくつかの驚くべき結果の実​​証において重要な役割を果たしました。最近、一部の数学者は、繰り返し計算を実行するだけでなく、自ら証明を生成することもできる人工知能の進歩を遂げました。開発が進んでいるもう一つの分野は、人間が書いた数学的な証明をチェックし、それが正しいかどうかを確認できるソフトウェアです。

「最終的には、人間は時代遅れになるだろう」と、機械に関するラマヌジャンの予想の一部を裏付けるのに貢献した証明自動化の先駆者であるツァイルバーガー氏は言う。「AIによって生成される数学の複雑さが増すにつれ、数学者は計算を大まかにしか理解できなくなるだろう」と同氏は付け加えた。

しかし、コンピューターは数学的な記述を考え出し、それが正しいことを証明できるかもしれないが、意味深く興味深い記述と、人間の介入なしに単に技術的に正しい記述とを区別できるかどうかは不明である。

ご興味があれば、下のリンクでラマヌジャンのアルゴリズムを実行して、新しい数学的推測を発見することができます。正しいことが証明されれば、発見した新しい推測にはあなたの名前が付けられます。