宝くじに当たるのは雷に打たれるより難しいですか？確率を向上させるためにアルゴリズムを使ってみる

宝くじで生計を立てる可能性はどれくらいありますか?

2005年、MITの学生グループが集まり、ギャンブル団体を結成した。彼らは賭けたいゲームを特定し、オッズを計算し、何百万ドルもの利益を手にした。

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可能性について話す

パワーボールのジャックポットが5億ドルに達するたびに、当選の可能性を宣伝する記事があちこちで登場し、宝くじに手を出したすべての人を嘲笑する。記事には、雷に打たれたり、サメに噛まれたり、自動販売機に押しつぶされたりするなど、起こりそうで起こりそうにない出来事についてのジョークも含まれている。こうした記事は読んでいて楽しいですし、苦労して稼いだお金の一部を宝くじに使うときには、「もしかしたら当たるかも」とくすくす笑うこともできます。

しかし、もし本当に確率の大きさを知っていたらどうなるでしょうか? さらに重要なのは、当選確率をどうやって推測できるのかということです。これらの確率はどこから来るのでしょうか? 確率についてある程度理解していれば、宝くじのオッズの計算は実はとても簡単だということがわかるでしょう。

宝くじの値上げを計算する式はかなり簡単です。これは二項係数と呼ばれ、次のようになります。

左側の中括弧は無視して、右側の実際の計算に注目してください。二項係数は、より大きな数値セットからのすべての可能な組み合わせに対して計算できます。 n はより大きな数値セットを表し、x はより大きなセットから除外するより小さなセットを表します。たとえば、パワーボール ゲームをプレイしていて、49 個の数字の中から 5 個の数字を選び、次に 26 個の数字の中から 1 個の数字を選ぶ必要があるとします。最初の 5 個の数字の計算式は次のとおりです。

何が起こったのか知りたいなら、64! が削除されたと伝えることができます。

つまり、5 桁の組み合わせは合計 11,238,513 通りあり、そのうち正しいのは 1 つだけなので、正しい 5 桁の組み合わせが得られる確率は 1/11,238,513 です。最後に残ったパワーボールのオッズは計算が簡単で、26 個の数字から 1 つを選ぶと 1/26 の確率になります。 2 つの数字の組み合わせの合計確率を計算するには、次のように 2 つの数字の組み合わせの確率を掛け合わせるだけです。

またはパーセンテージに変換すると、結果は 0.00000034223% になります。

つまり、ジャックポットを当てるには、292,201,338 通りの数字の組み合わせから唯一の幸運な数字を選ぶ必要があります。そうすれば、命は安全です。あまり期待できないようですね。良いニュースと悪いニュースがあります。宝くじをもっと買えば、当選確率が上がります。(注: チケットをもっと買っても当選確率は上がりませんが、チケットをもっと買えば当選確率は上がります。)

パワーボールのオッズと賞金

たとえば、チケットを 2 枚購入した場合、オッズは 2/292,201,338、つまり 1/146,100,669 になります。確率を半分に減らすことに成功しました! 宝くじを 10 枚購入した場合、確率は 1/29220134 になります! 残念なことに、宝くじを 10 枚購入しても、実質的な効果はなく、確率は依然として非常に高いままです。唯一の方法は、宝くじをもっと買うことです。宝くじを10万枚買えば、確率を1/2922まで下げることができます。

しかし、残念なことに、宝くじに 20 万ドルを費やし、数字が重複していないことを確認するためにフォームに記入するのに多大な労力を費やしたにもかかわらず、当選確率の高い、苦労して得たチャンスをうっかり台無しにしてしまったのです。4 つまたは 5 つの数字を正しく当てると、少額の賞金がもらえるかもしれませんが、一致率が低い配列では賞金が大幅に下がり、4 つしか当たらなかった場合は、純損失になってしまいます。

それで、これらすべてに何の意味があるのでしょうか? 確率は計算されていますが、結果はまだ混乱しています。このブログ記事の目的は、確率を使って宝くじを買うことではないでしょうか。宝くじを買うと必ず失敗するということだけがこの記事の目的なら、一体何の意味があるのでしょうか。

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正しいゲームをプレイする

2005 年、MIT の学生たちが「マサチューセッツ キャッシュ ウィニング ロッタリー」と呼ばれるゲームを発明しました。その中でも「ボーナスローリング」というルールが最も特殊です。ロールオーバーゲームでは、通常、ジャックポットに上限が設けられています。マサチューセッツ州では、上限は200万ドルに設定されています。ジャックポットが 200 万ドル以上に達し、誰も当選しなかった場合、ジャックポットの全額が「ロールダウン」され、通常は賞金として、より低い賞金に合わせられます。

たとえば、ジャックポット当選者がいない状態で 200 万ドルのロールオーバーがトリガーされた場合、3 つ、4 つ、または 5 つの数字を一致させたプレイヤーは、元の賞金に加えて、再割り当てられた 200 万ドルを受け取ります。これにより、1 回のロールでリターンを 550% 増やす可能性があり、ジャックポットの長期的なオッズに勝つ必要がないため、ゲームが非常に魅力的になります。

これらの可能性を見てみましょう。 Winfall ゲームでは、46 個の数字の中から 6 個の数字を選択する必要があります。二項係数の式から、ジャックポットを獲得する確率は 9,366,819 分の 1 であることが簡単にわかります。しかし、6 つの数字のうち 5 つが当たる確率ははるかに高く、1,370,754 分の 1 です。 6 つのグループのうち 4 つが一致するとどうなるでしょうか? 確率は 1/163185 です。成功の可能性を高めるには、より多くのチケットを購入するという戦略を忘れないでください。宝くじを500枚買えば当選確率が上がります。例えば、6 枚のチケットが当たる成功率は 1/18734、5 枚のチケットが当たる成功率は 1/2742、4 枚のチケットが当たる成功率は 1/327 です。これがどのように展開するか見てみましょう:

グラフが示すように、 5,000 枚のチケットでもジャックポットを当てる確率はかなり低いですが、 2 枚、3 枚、4 枚、5 枚のチケットを当てる確率はかなり高いようです。通常の宝くじでは、これはあまり意味がありません。通常、慰め賞の金額は非常に小さいため、追加のチケットを購入する投資に見合う価値はありません。しかし、ジャックポットが下がるにつれて、各チケットの潜在的な利益は増加します。200 万ドルのジャックポットは下位層に比例配分され、マッチしたチケットの数に応じて、最初のチケット価格の 13,000 ～ 11,000 倍に相当する支払いが行われます。これを認識し、学生はそれに応じて賭け金を倍増して、手頃なオッズを確実に高くします。彼らはジャックポットを狙ってプレイしているのではなく、より簡単に獲得できる低額の賞金を狙ってプレイしているのです。これらのゲームではより良いオッズが提供され、学生は賭け金の利益を最大化できるボーナスロールオーバー期間中にのみ参加します。

以下は、MIT グループのギャンブル戦略に関するマサチューセッツ州監察総監室の統計です。

2月8日の週の総利益は25,640ドル減少しました。

見てください！5 つの数字を当てると 22,096 ドルが返ってきます。そのうち 1 つは、当選チケットの費用だけでなく、他の 11,000 枚以上のチケットの損失もカバーします。当選番号が 4 つの宝くじでは 400 人以上の敗者がカバーされ、当選番号が 3 つの宝くじでは 13 人の敗者がカバーされます。潜在的な勝者の数を合計すると、潜在的な敗者の数を上回り、下落前の週には 25,640 ドルの利益があったと推定されます。

この戦略により、MIT 組織は 6 年間の運用で約 800 万ドルの利益を上げ、約 15 ～ 20% の投資収益率を生み出したと推定されます。しかし、楽しいことばかりではありません。数十万枚のチケットを購入するのに多大な時間と労力を費やすだけでなく、アルゴリズムによって生成された数字を手作業で丹念に入力し、各チケットを手動でチェックして当選者を見つけます。

ついに、この良いことは終わらなければなりませんでした。宝くじの収入は宝くじ券の販売から得られていたため、当時のブックメーカーは自社のゲームの並外れた人気に非常に満足していました。しかし、これらのグループに関するニュースが報じられると、大きな注目を集めました。宣伝が進むにつれて、ギャンブルの習慣が個々のプレイヤーの勝利の可能性を減らすと人々は信じるようになり（実際はそうではありませんでした）、それが彼らの人気にも影響を及ぼしました。さらに、より多くのシンジケートがプールに参加すると、潜在的な支払額が減少し、分配方法が増えるため、利回りも減少します。 2011年までに、当局は高額チケットの購入を減らすための規制を制定し始め、2012年には全面禁止に至った。

何を学んだのでしょうか?

適切なオッズと適切なゲームがあれば、宝くじで利益を得ることは可能です。計算してみると、時間と労力を惜しまない限り、そして作業のほとんどが人間によるものであることを考えると、宝くじで生計を立てられる可能性は実際にはかなり高いことがわかります。実際には、この背後にはさらに多くの数学があり、各チケットの期待値を計算し、オッズをさらに高めるための適切な数字の組み合わせを見つけます。しかし、ジャックポットが通常より高いゲームでは、オッズを2、3、4、または5の範囲内に保つことで、MITの学生たちは、ジャックポットを獲得できなかったとしても、勝つ可能性が45分の1より高くなるようにすることができた。これは、ポーカーのハンド開始時にフラッシュが出る確率（1/649,739）、スーパーモデルとデートする確率（1/880,000）、雷に打たれる確率（1/1,000,000）、サメに襲われる確率（1/115,000,000）よりもはるかに高い。