機械学習を使って純粋数学を新たな方法で探求する

1 世紀以上前、インドの伝説的な数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンは、その比類のない数学的才能で数学界を驚かせました。彼は人類史上最高の数学的直感を持ち、他の人には見ることができなかった数学的パターンを見抜くことができました。抽象的な美しさを持つこれらの数学的なパターンは、彼の夢によく現れます。

1960 年代以来、数学者はコンピューターで生成されたデータを使用して数学的なパターンや公式を探してきました。これは実験数学と呼ばれる研究方法で、多くの有望な結果を生み出してきました。たとえば、ミレニアム懸賞問題の 1 つであるベックとスウィントン・ダイアーの予想は最も有名な例です。

実際、パターンを見つけることは数学においてますます重要になってきています。今日、コンピューターは、数学者が一生かけて研究できる量よりも多くのデータを生成できます。数学者が研究したいが難解すぎて直接推論できない数学的対象がいくつかあるという事実と相まって、数学の発展は制約されています。

多くの研究者は人工知能に期待を寄せており、それが数学者の直感を新たな方法で強化してくれることを期待している。近年、人工知能技術は人間の深い直感に関わる分野で飛躍的な進歩を遂げ、科学における最も困難な問題のいくつかについても進歩を遂げています。しかし、コンピューターが生成したデータ内のパターンの特定と発見は依然として主に数学者の洞察力に依存しているため、数学の分野ではほとんど成功していません。

現在、AlphaGoを含む一連の人工知能システムを開発してきたDeepMindチームは、数人の数学者と協力して、位相幾何学と表現論という2つの数学分野に人工知能を適用している。ネイチャー誌に掲載された新しい論文で、研究者らは、数学的構造とパターンを識別する機械学習の可能性を調査することで、結び目理論と対称性の研究において大きな進歩を遂げた方法について説明しています。

数学では、人工知能は、既存の推測に対する反例を見つけたり、計算を高速化したり、数学的対象に存在する構造を検出したりするための貴重なツールとして使用できます。今回新たに発表された研究は、トポロジーにおける結び目と順列という2つの基本的な数学的概念を探求することで、数学研究の最前線における定理や推測の発見にも人工知能を適用できることを初めて実証しています。

結び目は、紐を何通りの方法でねじることができるかを教えてくれるだけでなく、量子場理論、非ユークリッド幾何学などとも意外なつながりがあります。代数学、幾何学、量子論は、結び目に関してそれぞれ独自の視点を持っていますが、これらの異なる分野がどのように関連しているかは長年の謎です。たとえば、結び目の幾何学から代数に関連するどのような情報を得ることができますか?

新しい研究では、研究者らは結び目の双曲不変量と代数不変量の間に未発見の関係があることを示唆している。この相関関係を調べるために、研究チームはディープラーニングモデルをトレーニングし、結び目の幾何学的形状に直接関連する特別な代数量、シグネチャ（σ）を発見して驚きました。これまで、数学者はこの量が結び目に関する重要な情報に関係していることは知っていましたが、双曲幾何学に関係していることは知りませんでした。

機械学習の属性付け技術を使用することで、これまで見過ごされてきた構造に関する重要な情報に関連する「自然傾斜」という新しい概念も発見しました。現在、研究者たちは結び目の構造を研究することで、この予想外の関係が数学の異なる分野の間に実際に存在することを確認し、数学の異なる分野間のつながりを初めて確立しました。

彼らは順列に関する研究で、順列に関する推測の新しい公式を発見しました。これは表現理論における組合せ不変性予想であり、特定の有向グラフと多項式の間には何らかの関係があるはずだというものです。この予想は何十年も数学者を困惑させてきた。

研究者たちはディープラーニング技術を使用して、この関係の存在を確認し、それが破れた二面角間隔と極値反射として知られる構造に関連している可能性が高いと判断しました。この知識により、研究チームの数学者は、組合せ不変性の仮説を解くアルゴリズムを導き出すことができました。現在、彼らは300万以上のインスタンスで新しいアルゴリズムを計算的に検証しました。

これらは、機械学習によってなされた最初の大きな数学的発見です。機械学習は、教師あり学習を通じてパターンの存在を検出し、機械学習の属性技術を使用してこれらのパターンに関する洞察を得て、問題に関する直感的な判断を刺激し、数学研究に役立つことを示しています。

機械学習技術と人工知能システムの使用は、数学的パターンの認識と発見に大きな可能性を秘めています。たとえディープラーニングがまだある種のパターンを検出できないとしても、新たなブレークスルーは他の研究者に人工知能を数学の研究ツールとして使うよう刺激を与える可能性がある。

数学者のジョージ・フレデリック・ジェームズ・テンプルは、ラマヌジャンを思い出して、かつて感慨深くこう言った。「数学の偉大な進歩は論理に基づくものではなく、創造的な想像力から生まれるものである。」人工知能と数学者の協力によって、数学に関する人間の直感がさらに新たな高みに引き上げられることを期待しています。