行列のランクと行列式の意味を1つの記事で理解する

工学部の学生として、私たちは行列や行列式などの線形代数の知識を長い間使用してきました。この記事では、面積とは何か、面積の高次元一般化とは何かという問題についてお話ししたいと思います。

1 面積とは何ですか?

面積と言えば、まず思い浮かぶのは、日常生活でよく使われる「長さ×幅」ではないでしょうか？これは本当にそうなのでしょうか? 実際、ここで話題にしている面積は、ユークリッド空間幾何学の基本単位、つまり平行四辺形の面積です。幾何学における平行四辺形の面積の定義は、隣接する 2 辺の長さに、それらの間の角度の正弦を掛けたものです。

しかし、より一般的な状況や高次元の数学の問題に直面したとき、面積の定義を一般化する必要があります。まず、面積はスカラーであり、2 つの隣接する辺からの 2 つのベクトルを乗算した結果であることに注意してください。したがって、面積をマッピング関係として考える必要があります。

ここで、V は適切な量とみなすことができ、V*V は 2 つの適切な順序のペアを表すため、f は当然必要な面積になります。

ここで、このマッピングが線形マッピングであることを証明します。しばらくお待ちください。

では、簡単な例を見てみましょう。最初のベクトルが(1.0)で、2番目のベクトルが(0,1)であると仮定します。つまり、2つのベクトルはそれぞれX軸とY軸上の正の単位ベクトルです。すると、これら2つのベクトルによって形成される四辺形は実際には正方形になります。面積の定義によれば、実際には*幅=1*1=1です。

つまり、次のようになります。

ここで、最初のベクトルが a 倍に拡大されると、四辺形の面積も対応する面積の a 倍になり、面積も元の面積の a 倍になります。2 番目のベクトルが b 倍に拡大されると、面積も元の面積の b 倍になります。両方のベクトルを同時に ab 倍に拡大すると、面積も元の面積の ab 倍になります。これは、面積のマッピングが他の 2 つのオペランドのスカラー積に対して次のように線形であることを示しています。

実際、実際の状況では、領域のマッピングも、そのオペランド（ベクトル）のベクトル加算に関して線形です。ベクトル加算の演算自体は線形であるため、領域のマッピングも線形マッピングです。ここで、いくつかの例を通して、マッピング加算の線形性の結果をいくつか説明したいと思います。

2つの共線ベクトルによって形成される平行四辺形は直線なので、面積は0です。面積写像が真の加算に関する線形写像であると仮定すると、次の結果が得られます。

実際、ここでは次のような理論が使われています。

つまり、互いに直交するオペランドの順序を入れ替えると、面積のマッピングは負の値になります。正か負かは定義によって異なります。一般的には、X軸のベクトルを前に置き、Y軸のベクトルを後ろに置きます。X軸からY軸までの平行四辺形の面積は、一般に正の符号と見なされます。

2 3次元空間での応用

3次元空間では、一般的に右手の法則を使用して実験を行います。X軸上の正方形が頭で、Y軸の正方向が尾である場合、右手の法則は、紙の外側の方向が領域の正の方向であることを示しています。逆の場合は、紙の内側の方向が領域の正の方向です。指定された正負の符号の方向とは反対です。これで、正負の符号の幾何学的な意味がより明確になりました。

ここで、平面上の任意の 2 つのベクトルによって形成される平行四辺形の面積が次の式を使用して表せると仮定します。

ここで、いわゆる面積が実際には 2*2 行列の行列式であることは容易にわかります。

下の写真のように:

実際、最初の行は最初の行ベクトル (a, b)、2 行目は 2 番目の行ベクトル (c, d)、または最初の列は最初の列ベクトル (a, b) のランク、2 列目は 2 番目の列ベクトル (c, d) のランクです。もちろん、これはベクトルを行ベクトルとして記述するか、列ベクトルとして記述するかによって異なります。

3 行列式の性質の計算

以上の推論から、行列式の値は、行列式に関連するベクトルが列ベクトルの横並びで書かれていても、行ベクトルの縦並びで書かれていても無関係であることが容易に分かります。行列式の計算時に、行と列の状態が等しいのはそのためです。また、上記の分析によれば、ベクトルの順序が入れ替わると面積が負になることにも注意する必要があります。行列式では、列ベクトルまたは行ベクトルが一度入れ替わると、負の符号が一度取られる必要があるのはそのためです。さらに、行列式の他の計算の特性は、実際には面積マッピングの線形性に反映されています。

つまり、まとめると、行列式自体は、実際には面積の形式の一般化です。実際、これは、与えられた基数セットの下で N 個のベクトルによって形成される N 次元で定義された一般化された四辺形の体積です。実際、これが行列式の本質です。

4 行列式の一般化

上記の結論に基づいて、これを 3 次元の体積の計算に簡単に一般化できます。

ここで、行列式の定義は実際には各行の異なる列の要素の積であり、その符号はいわゆる逆順序に関連していることに注意する必要があります。逆虚数特性とは何でしょうか? いわゆる逆順序とは、その幾何学的な意味は、正の方向が指定された後 (たとえば、1、2、3、4、5...N の順序が正の符号として定義される)、任意の数のペアを交換すると、1 回は負の符号が付くということです。この特性は、すでに上で述べた面積関数で確認しました。実際、体積、さらには高次元の一般化された体積にも正の方向がありますが、右手の法則 (および外積) を使用してそれを鮮明に示すのは困難です。右手の法則の制限は、高次元領域を行列式に一般化する動機の 1 つでもあります。

任意のインデックスの束を交換することで符号を変更できるという特性は、実際には反対称性と呼ばれます。この時点で、思考が得意な人であれば、異なる行と列にある要素の積をなぜ取る必要があるのか​​疑問に思うでしょう。なぜなら、任意の 2 つの要素が同じ行と列にある場合、列のインデックスを交換すると、積は変更されませんが、符号が反対になるからです。したがって、積は 0 になる必要があり、これが行列式の値に反映されない理由の 1 つです。

行列式の定義は実は非常に複雑です。これは、広大な領域マッピングの反対称性から来ています。実際、領域マッピングは 2 次元です。2 次元を複数の次元に拡張すると、R 次元形式が R*R 行列式形式とまったく同じであることがわかります。

実際、ここで各次元が何を表しているかをまとめることができます。2次元は平面上の面積を表し、3次元は当然3次元空間の体積、4次元は4次元空間の超体積を表します。などなど。上記の推論では、これらのベクトルによって与えられた基本座標によって書かれた行列は正方行列でなければならないこと、そして行列の行列式が面積または体積に対応することがわかりました。このような一般化証明は、どの線形代数の本にも見られると思います。私は人間の言葉を話しているだけです。

5 行列式と逆行列

行列式が 0 の行列は不可逆であり、行列式が 0 でない行列は可逆であるなど、多くの定理が知られています。このとき、面積を表す行列式が線形変化の可逆性とどのように結びついているのかを問わざるを得ません。

この時点で、線形変化の幾何学的意味を理解しているはずです。ここで説明しましょう。

空間内の線形独立ベクトルの集合を列ベクトルの形式で記述すると、それらが張る N 次元体の体積はゼロではありません。上記の分析によると、その値は行列式によって与えられます。ベクトルを線形変換 A で変換すると、新しいベクトル形式は次のようになります。

A は N*N 行列であり、ベクトルは列ベクトルであることに注意してください。

変換前の N 次元体の体積は次のようになります。

変換後、N 次元体積の体積は次のようになります (2 番目の式は、実際には、行列の乗算、つまり N*N 行列 A と N 列ベクトルで構成される別の N*N 行列の乗算が幾何学的にどのように定義されるかを説明していることに注意してください)。

A の行列式がゼロでない場合、この変換後、N 次元体の体積は NULL ではないことを意味します。線形独立性と体積特性を組み合わせると、次のことが言えます。

A の行列式がゼロでない場合、A は線形独立ベクトルのセットを新しい線形独立ベクトルのセットにマッピングできます。A は可逆です (1 対 1 マッピング、忠実度マッピング、KERNEL は {0})

A の行列式がゼロの場合、A は線形独立ベクトルのセットを線形従属ベクトルのセットにマッピングします。

A の行列式が負の場合、A は元の N 次元ボリュームの方向を変更します。

線形独立から線形従属へ移行すると、一部の情報が失われます (たとえば、共線または共平面への崩壊)。そのため、この変換は明らかに不可逆です。線形性が独立であるかどうかは、N 次元体の体積に直接関係しており、この体積値は A の行列式に関係しています。したがって、A の行列式とそれが可逆であるかどうかの間に幾何学的な関係が確立されました。

たとえば、A は 3 次元行列であると仮定します。マッピング前に 3 つの線形独立ベクトルのセットがある場合、それらのベクトルが張る体積は 0 ではないことがわかります。マッピング後、対応する新しいベクトルも平行六面体を張ることができ、この平行六面体の体積は元の体積に A の行列式を掛けたものになります。

明らかに、A の行列式が 0 の場合、変換後の新しい「平行六面体」の体積も必然的に 0 になります。上記の結論によれば、変換後のこの新しいベクトルのセットは線形相関していることがわかります。

結論は：

線形変換 A の行列式がゼロであるかどうかは、そのマッピングの忠実度、つまり、線形独立ベクトルのセットを独立性を維持する別のベクトルのセットに変換できるかどうかを表します。

6位

しかし、場合によっては、行列式 A は空間内の多数のベクトルを線形独立にすることはできないものの、少数のベクトルが線形独立であることを保証できます。このベクトルの数は、多くの場合、線形空間の次元よりも小さくなります。この数は、線形変換 A の階数と呼ばれます。

たとえば、階数が 2 の 3*3 行列 A の場合、階数が 3 未満であるため、3D 六面体は変換後に体積が 0 になり、面が縮退しますが、面積が 0 でない面がまだ存在し、変換後も面積が 0 でない面のままです。

したがって、線形変換のランクは、変換後にゼロ以外の体積を維持できる幾何学的形状の最大次元に他なりません。

ランク、行列式、可逆性の幾何学的意味を理解することで、線形に変化する A を任意に構築し、すべての幾何学的物体を保存するか、特定の次元と構造を持つ幾何学的物体に次元を削減するか、より低次元の幾何学的物体に圧縮することができます。したがって、これは「次元削減攻撃」と見なすことができます。

高次元での推論ですが、興味のある方はご自身で証明していただければと思います。また、問題が分からない場合は記事の下にコメントしていただくこともできます。もっとコミュニケーションが取れればと思いますので、アドバイスをよろしくお願いします。

この記事はLeiphone.comから転載したものです。転載する場合は、Leiphone.com公式サイトにアクセスして許可を申請してください。この記事の著者は夏紅金であり、元々は著者の個人ブログに掲載されたものです。