ディープラーニングはオイラー方程式を「破壊」する準備ができている

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250年以上もの間、数学者たちは、流体の流れを記述するオイラーの方程式など、物理学における最も重要な方程式のいくつかを「解明」しようと試みてきた。彼らが成功すれば、特定の状況下では方程式が破綻することを発見するだろう。例えば、無限に速く回転する渦や、突然止まって再び流れる電流、無限に速い速度で駆け抜ける電子などがあるかもしれない。この限界点、つまり「特異点」を超えると、方程式にはもはや解がなくなります。これらの方程式は世界の理想的な状態を記述することすらできず、数学者は流体の挙動に関するこれらのモデルがそもそも信頼できるのかどうか疑問に思う理由がある。

特異点は、それが表す流体と同じくらい、つかみどころがなく、とらえどころのないものです。答えを見つけるために、数学者は通常、流体の流れを支配する方程式をコンピューターに入力し、デジタルシミュレーションを実行します。彼らは、一連の初期条件から始めて、特定の量（たとえば、速度や渦度）の値が爆発に向かって急激に増加し始めるまで観察します。

しかし、コンピュータは無限の値を処理できないという単純な理由から、特異点を確実に検出することはできません。特異点が存在する場合、コンピュータ モデルは方程式が破綻する点に近づくことはできるかもしれませんが、特異点に直接到達することは決してありません。実際、より強力な計算方法を使用して調査したところ、見かけ上の特異点は消えました。

しかし、特異点へのこの近似は依然として重要です。近似値が得られれば、数学者はコンピューター支援証明と呼ばれる技術を使って、確かに近くに特異点があることを証明できる。簡略化された 1 次元バージョンは以前にも研究されてきました。

今年初め、数学者と地球科学者のチームが、特異点を近似するまったく新しい方法を発見しました。彼らは、特異点を直接観測できるディープラーニング手法を使用しました。研究チームはまた、この方法を使って従来の方法では見つけられなかった特異点を探し、方程式が見た目ほど絶対確実ではないことを証明しようとした。

• 論文アドレス: https://arxiv.org/pdf/2201.06780v2.pdf

この研究では、Yongji Wangらは物理学に基づくニューラルネットワーク（PINN）を使用して、ブシネスク方程式の滑らかな自己相似解を見つけるための新しい数値フレームワークを開発しました。解は、円筒境界が存在する場合の 3 次元オイラー方程式の漸近的に自己相似な曲線に対応します。特に、この解は、3 次元オイラー方程式の Luo-Hou 爆発シナリオを正確に記述したものです。この解は、流体力学方程式に対する最初の真に多次元の滑らかな後方自己相似曲線です。数値フレームワークは堅牢であり、他の方程式にも簡単に適用できます。

この論文では、数学的流体力学の分野で非常に重要な、2次元ブシネスク方程式と境界を持つ3次元オイラー方程式の有限時間爆発問題を研究します。 Yongji Wang らは、物理学に基づくニューラル ネットワークを使用して、Boussinesq 方程式の滑らかな後方自己相似解を構築する新しい数値手法を使用しました。この解自体は、2 次元のブシネスク方程式の爆発や 3 次元の境界を持つオイラー方程式の将来のコンピュータ支援証明の基礎となる可能性があります。

この研究は流体方程式を解明する競争を引き起こした。一方にはディープラーニングのチームがおり、もう一方には何年も前からより確立された技術を使ってきた数学者がいる。レースに誰が勝つかに関わらず、実際に誰かがゴールラインに到達できるかどうかにかかわらず、結果は、ニューラル ネットワークが人々がさまざまな問題に対する新しい解決策を見つけるのに役立つことを示唆しています。

1 消える爆発の解決策

レオンハルト・オイラーは 1757 年にオイラー方程式を提唱しました。これは理想的な非圧縮性流体 (粘性がなく、内部摩擦がなく、より小さな体積に圧縮できない流体) の運動を記述するものです。 (自然界に存在する多くの流体は粘性があり、これらはナビエ・ストークス方程式によってモデル化されます。ナビエ・ストークス方程式を解明した人には、クレイ数学研究所の 100 万ドルのミレニアム賞が授与されます。) ある開始点における流体内の各粒子の速度が与えられれば、オイラー方程式によって、いつでも流体がどのように流れるかを予測できるはずです。

しかし数学者たちは、場合によっては、最初は問題ないように見えても、これらの方程式が最終的に問題に直面する可能性があるのではないかと疑問に思った。 (これが事実である可能性を疑う理由があります。彼らがシミュレートした理想的な流体は、わずかに粘性があるだけの実際の流体とはまったく似ていません。オイラー方程式の特異点の形成により、この発散を説明できる可能性があります。)

2013年に2人の数学者がそのような概念を提案しました。完全な三次元流体の流れのダイナミクスは信じられないほど複雑になる可能性があるため、カリフォルニア工科大学のトーマス・ホウ氏と香港恒生大学のグオ・ルオ氏の両数学者は、流れが特定の対称性に従うと示唆した。

彼らのシミュレーションでは、円筒形のカップの中で流体が回転します。カップの上半分の液体は時計回りに回転し、下半分の液体は反時計回りに回転します。反対方向の流れは、水の複雑な上下サイクルを形成します。すぐに、2 つの反対方向の流れが境界で出会うところで、流体の渦が爆発しました。

画像クレジット: メリル・シャーマン/クアンタ・マガジン

この証明は特異点が存在するという強力な証拠を提供しますが、証明がなければそれが特異点であると確信することは不可能です。 Hou 氏と Luo 氏の証明以前には、多くのシミュレーションで潜在的な特異点が示唆されていましたが、後により強力なコンピューターでテストされたときに、それらのほとんどは消えてしまいました。 「特異点があると考え、それをより大きく、より解像度の高いコンピューターにかけると、どういうわけか、そこにあったと思っていた特異点が消えてしまう」とミネソタ大学の数学者、ウラジミール・スヴェラック氏は語った。

それは、シミュレーションの各ステップで蓄積される一見小さな誤差の影響を受けやすい解法だからだ。「コンピューターでオイラー方程式をシミュレーションするのは繊細な技術です。解法の小数点以下38桁ほどの誤差にも非常に敏感だからです」とプリンストン大学の数学者チャーリー・フェファーマン氏は言う。 ”

それにもかかわらず、ホウ氏とルオ氏による特異点の近似解はこれまですべてのテストに合格し、多くの人々が関連する研究を行うよう促してきました。 「これは特異点形成の最良のシナリオであり、私を含め多くの人がこれが本当の特異点であると信じている」とスヴェラック氏は語った。

オイラー方程式が破綻していることを完全に証明するには、数学者は、近似特異点が与えられた場合、近くに実際の特異点があることを示す必要があります。このステートメントを正確な数学用語で言い換えると、近似の十分に近い領域に実際の解があり、特定の特性を確認できればステートメントは正しいことになります。これらの特性を確認するには、コンピューターが必要です。今回は、一連の計算 (近似解を含む) を実行し、その過程で蓄積される可能性のあるエラーを慎重に制御します。

ホウ氏と大学院生のジアジエ・チェン氏は、数年間にわたりコンピューター支援による証明に取り組んできた。彼らは 2013 年の近似解を改良し、現在この近似を新しい証明の基礎として使っています。彼らはまた、この一般的な戦略がオイラー方程式よりも簡単に解ける問題にも有効であることを示しました。

今、別のグループが狩りに加わりました。彼らは、Hou 氏と Luo 氏の結果と非常によく似た、まったく異なるアプローチを使用して近似値を見つけました。彼らは現在、独自のコンピューター支援による証明を書いています。しかし、近似値を得るためには、まず新しい形式のディープラーニングに目を向ける必要がありました。

2 PINN: 氷河研究から始まった

オイラー方程式の爆発に関する新たな研究は、予想外の分野、つまり南極の氷床の力学を研究している地球物理学者から始まった。彼らの研究では、ディープラーニングのアプローチを使用する必要がありましたが、これはその後、より理論的な文脈で有用であることが示されました。

現在ニューヨーク州プリンストン高等研究所の客員研究員である数学者トリスタン・バックマスター氏が、この新しい方法を偶然発見した。昨年、彼は、プリンストン大学の地球物理学者チンヤオ・ライの指導の下で南極の氷床の力学を研究していた同じ学部の学部生チャーリー・コーウェン・ブリーンから、あるプロジェクトに参加するよう依頼された。彼らは衛星画像やその他の観測結果から氷の粘性を推測し、将来の流れを予測しようとしている。彼らは、これまでにない「物理学情報に基づくニューラルネットワーク」（PINN）と呼ばれるディープラーニングのアプローチを適用することでこれを達成しました。

予測を行う前に大量のデータでトレーニングする必要がある従来のニューラル ネットワークとは異なり、PINN は、運動の法則、エネルギー保存則、熱力学、および特定の問題を解決するために科学者が導入する必要があるその他の物理的制約など、一連の基本的な物理的制約も満たす必要があります。

画像提供: NASA 地球観測所

ニューラル ネットワークに物理学を導入することにはいくつかの目的があります。一方では、このようなニューラル ネットワークは、利用可能なデータがほとんどまたは全くない状態でも質問に答えることができます。一方、PINN は元の方程式内の未知のパラメータを推測することができます。多くの物理学の問題では、「方程式がどのような形になるかは大体分かっているが、『特定の』項の係数がどうなっているかは分からない」と、ライ研究室の博士研究員で、今回の論文の共著者でもあるヨンジ・ワン氏は言う。これは、Lai 氏と Cowen Breen 氏が決定しようとしているパラメータの場合です。

ブラウン大学の応用数学者ジョージ・カルニアダキス氏は2017年に最初のPINNを開発し、それを「隠れた流体力学」と提唱し名付けた。

学生のカウエン・ブリーンさんの要請にバックマスターさんは考えさせられた。 Hou、Luo、Chen らは、円筒形インターフェースの Euler 方程式の古典的な解法において、長く困難な進歩を経験してきました。しかし、それらは時間に依存しているため、特異点に到達することなく、非常に近づくことしかできません。無限のように見えるものにどんどん近づくにつれて、コンピューターの計算はますます信頼性が低くなり、爆発自体のポイントを実際に確認できなくなるほどになります。

しかし、オイラーの方程式は、巧妙な手法によって時間の影響を方程式から取り除いた別の方程式のセットで表現することができます。 Hou と Luo (2013) の結果は、非常に正確な近似解を特定しただけでなく、発見した解が特異な「自己相似」構造を持っているように見えるという点でも注目に値します。これは、どれだけ時間的に先に進んでも、モデルの解が特定のパターンに従うことを意味します。つまり、後の形は元の形と非常に似ていて、少しだけ大きいだけです。

この特徴は、数学者が特異点が発生する直前の時間に焦点を当てることができることを意味します。そのスナップショットを適切な速度でズームインすると、まるで顕微鏡で拡大したり縮小したりするかのように、特異点に到達するまで、次に何が起こるかをシミュレートできます。同時に、このように再スケールすれば、この新しいシステムに実際には何も大きな問題はなく、無限の値を扱う問題を回避できます。フェファーマン氏は、「これはちょうど、時間依存型の方程式で爆発が起こる、ちょうど良い限界に近づいている」と述べた。 「これらの（再スケールされた）関数をモデル化する方が簡単なので、自己相似関数で特異点を記述できれば、それは大きな利点になります」とスヴェラック氏は語った。

キャプション: 左から右へ: 数学者のトリスタン・バックマスターとハビエル・ゴメス・セラーノ、地球物理学者のチェン・ヤオ・ライとヨンジ・ワン。彼らは協力して、物理学に基づくニューラル ネットワークを使用してオイラー方程式の爆発を研究しました。

問題は、これを機能させるために、数学者は速度や渦度（自己相似座標を使用して記述される）などの通常のパラメータの方程式を解くだけでは十分ではないことです。方程式自体には、増幅を制御する変数という未知のパラメータがあります。この値は、方程式の解が元の問題の爆発的な解と一致することを保証するために、ちょうど適切でなければなりません。

数学者はこれらの方程式を順方向と逆方向の両方で同時に解かなければなりませんが、これは従来の方法では不可能ではないにしても難しい作業です。こうしたソリューションを見つけることこそが、PINN が設計された目的です。

3 爆発的な解決策の探求

振り返ってみると、PINN の開発は「当然のことのように思えた」とバックマスター氏は言います。

バックマスター氏、ライ氏、ワン氏、そしてブラウン大学とバルセロナ大学の数学者であるハビエル・ゴメス・セラーノ氏は協力して、対称性やその他の特性に関連する条件や、解きたい方程式など、PINNを導くための一連の物理的制約を確立しました。彼らは、円筒境界に近い点における 3 次元オイラー方程式と同等の自己相似座標を使用して書き直された一連の 2 次元方程式を使用しました。

次に、これらの制約と自己相似性パラメータを満たすソリューションを見つけるためにニューラル ネットワークをトレーニングしました。 「この方法は非常に柔軟性があり、適切な制約を課す限り、常に解決策が見つかります」とライ氏は語った。実際、チームはこのアプローチを他の問題にもテストすることで、この柔軟性を実証しました。

このチームによって提供された答えは、Hou と Luo (2013) によって提案された解決策とよく似ています。しかし、この問題に対する自己相似解が直接計算されたのは初めてであるため、数学者たちは、彼らが示した近似値によって、何が起こっているのかをより詳細に説明できるようになることを期待している。 「新たな研究結果は、特異点がどのように形成されるか、特定の値が限界点に達し方程式が崩壊する仕組みをより正確に説明するものだ」とスヴェラック氏は述べた。

「ニューラル ネットワークがなければ、特異点の本質を本当に捉えていることを証明するのは非常に困難です」とバックマスター氏は言う。「このアプローチが従来の方法よりもはるかに簡単であることは明らかです。」

ゴメス・セラーノ氏も同意し、「これは将来、人々が手元に持つ標準的なツールになるだろう」と述べた。

PINN は再び、カルニアダキス氏が「隠れた流体力学」と呼ぶものを明らかにしましたが、今回は PINN を使用してより理論的な問題の解決に進展をもたらしました。 「PINN でこれをやっている人は見たことがありません」とカルニアダキス氏は言う。

数学者が興奮しているのは、それだけではありません。PINN は、従来の数値計算法ではほとんど検出できない別の種類の特異点を見つけるのにも使用できる可能性があります。これらの「不安定な」特異点は、円筒境界のないオイラー方程式 (解くのがすでにはるかに複雑) やナビエ・ストークス方程式など、特定の流体力学モデルに特有のものです。「不安定な特異点は存在します。では、なぜそれらを見つけないのでしょうか? 「プリンストン大学の数学者ピーター・コンスタンティンはかつてこう言いました。

しかし、古典的に扱える安定した特異点であっても、円筒境界を持つオイラー方程式に対してPINNが提供する解は「定量的かつ正確で、より厳密にすることができます。これで証明へのロードマップができました。これには多くの作業と多くのスキルが必要になります。創造性も必要になると思います。しかし、天才は必要ないと思います。実行可能だと思います」とフェファーマン氏は語った。

バックマスターのチームは現在、ホウとチェンと競争しており、誰が最初にゴールラインに到達できるかを競っています。 Hou 氏と Chen 氏はこの競争で一歩先を進んでいます。Hou 氏によると、彼らは過去数年間で近似解の改良と証明の完成において大きな進歩を遂げており、Buckmaster 氏とその同僚は独自の証明を得るために近似解を改良しなければならなかったのではないかと彼は考えています。彼は、既存の近似解の誤差範囲はすでに非常に小さいと考えています。

それでも、多くの専門家は、オイラーの方程式を解明しようとする250年にわたる探求が終わりに近づいていると期待している。 「概念的には、重要な部分はすべて整っていると思う。細かい部分を決めるのが難しいだけだ」とスヴェラック氏は語った。